On peut calculer les points d’intersection d’ une droite et d’ une parabole en résolvant le système formé par les équations de celles-ci.
Nous pouvons résoudre ce système par substitution en isolant y (ou x) dans la première équation puis en remplaçant y (ou x) dans la seconde équation par l’expression obtenue
Résolvons séparément la seconde équation (par rapport à x), rassemblons tous les termes dans un seul membre et regroupons les termes suivant les puissances de x
Il s’agit d’une équation du second degré. Calculons son discriminant.
Suivant que le discriminant sera positif, nul où négatif, l’équation aura deux solutions, une solution double ou pas de solution réelle.
Il y aura alors deux points d’intersection, un point double ou aucun point d’intersection.
Deux points d’intersection, donc delta sera positif, le système doit avoir deux solutions
Puisque la droite est tangente à la parabole, elle a un et un seul point commun avec la parabole, et par conséquent, le système doit avoir une et une seule solution. On en déduit que le discriminant doit être nul
Points d’intersection entre deux courbes et méthode de substitution
Pour rechercher la coordonnée des points d’intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.
La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l’une des inconnues dans l’une des équations et à remplacer cette inconnue par l’expression obtenue dans l’autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu’une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.
Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver l’abscisse des points d’intersection des deux courbes, on résout l’équation f(x) = g(x).
Résolution dans l’ensemble des réels de l’équation du second degré
Pour résoudre l’équation :
calculer son discriminant :
– si , l’équation admet deux solutions :
– si , l’équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):
– si , l’équation n’admet pas de solution