Les coordonnées des points d’intersection entre une droite et une conique

On peut calculer les points d’intersection d’ une droite et d’ une parabole en résolvant le système formé par les  équations de celles-ci.

Nous pouvons résoudre ce système par substitution en isolant y (ou x)  dans la première équation puis en remplaçant y (ou x)  dans la seconde équation par  l’expression obtenue

Résolvons séparément la seconde équation (par rapport à x), rassemblons tous les termes dans un seul membre et regroupons les termes suivant  les puissances de x

Il s’agit d’une équation du second degré. Calculons son  discriminant.

Suivant que le discriminant sera positif, nul où négatif, l’équation aura deux solutions, une solution double ou pas de solution réelle.
Il y aura alors deux points d’intersection, un point double ou aucun point d’intersection.

 

 

Deux points d’intersection, donc delta sera positif, le système doit avoir deux solutions

 

Puisque la droite est tangente à la parabole, elle a un et un  seul point commun avec la parabole, et par conséquent, le système doit avoir une  et une seule solution. On en déduit que le discriminant doit être nul

 

Points   d’intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d’intersection de deux droites ou   courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites   ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues   consiste à isoler l’une des inconnues dans l’une des équations et à remplacer   cette inconnue par l’expression obtenue dans l’autre équation. Cette nouvelle   équation ne contient alors plus qu’une inconnue et peut donc être résolue par   la méthode adéquate.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver  l’abscisse des points d’intersection des deux courbes, on résout l’équation f(x)  = g(x).

Résolution   dans l’ensemble des réels de l’équation du second degré

Pour résoudre l’équation :

calculer son discriminant :

– si  , l’équation admet deux solutions :

– si  , l’équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

– si  , l’équation n’admet pas de solution

 

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