Categoria: Matematica in Francese

questionnaire sur la parabole

 

Le second degré est présent partout ou presque…

On trouve cette forme parabolique, par exemple, en architecture, en sports, en aviation, dans les grands huit ou en balistique comme le montrent les exemples suivants :

Saint-Louis Abbey, aux formes paraboliques se trouve à Crève-Coeur dans le Missouri.

Quand un ski possède une taille de guêpe, on dit qu’il est profilé. Le ski parabolique est un modèle de ski profilé lancé par Elan et qui connut un vif succès, dont le nom fait référence à la forme des bords du ski. Cette forme de parabole permet au ski, si le skieur exerce une pression suffisante, de fléchir pour épouser la forme d’un virage en taillant la neige. Le skieur gagne donc en vitesse, puisque le ski ne dérape plus pendant le virage.

ski alpin

 

On trouve aussi la présence du second degré dans le lancer des projectiles dans un champ de gravitation tel que celui de la Terre. Le ballon, lancé en l’air et sans effet suit une trajectoire parabolique parfaite. Il en est de même pour le boulet de canon ou les petits oiseaux du jeu Angry Birds

 

En rapport avec l’exemple précédent, la trajectoire d’un objet lancé en l’air (sauf parfaitement verticalement) est une parabole.

Il s’agit d’une chute libre avec vitesse initiale. Un objet placé à l’intérieur est donc en impesanteur.

Si un avion arrive à effectuer une trajectoire parabolique, passagers et matériel embarqué seront en impesanteur. A noter que dans un “grand-huit”, le profil de la piste est conçu pour procurer cette sensation aux amateurs, en certains points du circuit…

Les paraboles utilisées pour recevoir la télévision par satellite ne sont pas nommées ainsi par hasard. La forme parabolique (on parle de paraboloïde) permet de concentrer le signal sur le récepteur situé au foyer. C’est une caractéristique géométrique de cette courbe.

L’équation cartésienne d’une parabole :

 où  ,  et  sont des réels quelconques (  ), est l’équation cartésienne d’une parabole.

On supposera que la condition  est vérifiée dans tout le reste du cours.

 

 

QUESTIONNAIRE

attention à  la parabole

 

Les coordonnées des points d’intersection entre une droite et une conique

On peut calculer les points d’intersection d’ une droite et d’ une parabole en résolvant le système formé par les  équations de celles-ci.

Nous pouvons résoudre ce système par substitution en isolant y (ou x)  dans la première équation puis en remplaçant y (ou x)  dans la seconde équation par  l’expression obtenue

Résolvons séparément la seconde équation (par rapport à x), rassemblons tous les termes dans un seul membre et regroupons les termes suivant  les puissances de x

Il s’agit d’une équation du second degré. Calculons son  discriminant.

Suivant que le discriminant sera positif, nul où négatif, l’équation aura deux solutions, une solution double ou pas de solution réelle.
Il y aura alors deux points d’intersection, un point double ou aucun point d’intersection.

 

 

Deux points d’intersection, donc delta sera positif, le système doit avoir deux solutions

 

Puisque la droite est tangente à la parabole, elle a un et un  seul point commun avec la parabole, et par conséquent, le système doit avoir une  et une seule solution. On en déduit que le discriminant doit être nul

 

Points   d’intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d’intersection de deux droites ou   courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites   ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues   consiste à isoler l’une des inconnues dans l’une des équations et à remplacer   cette inconnue par l’expression obtenue dans l’autre équation. Cette nouvelle   équation ne contient alors plus qu’une inconnue et peut donc être résolue par   la méthode adéquate.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver  l’abscisse des points d’intersection des deux courbes, on résout l’équation f(x)  = g(x).

Résolution   dans l’ensemble des réels de l’équation du second degré

Pour résoudre l’équation :

calculer son discriminant :

– si  , l’équation admet deux solutions :

– si  , l’équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

– si  , l’équation n’admet pas de solution